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非線性微分方程的線性化
嚴(yán)格地說,實際物理元件或系統(tǒng)都是非線性的。例如,彈簧的剛度與其形變有關(guān)系,因
此彈簧系數(shù)K實際上是其位移上的函數(shù),并非
常值}電阻、電容、電感等參數(shù)值與周圍環(huán)境(溫
度、濕度、壓力等)及流經(jīng)它們的電流有關(guān),也并
非常值I電動機本身的牽擦、死區(qū)等非線性因素
會使其運動方程復(fù)雜化而成為非線性方程。當(dāng)
然,在一定條件下,為了簡化數(shù)學(xué)模型,可以忽
略它們的影響,將這些元件視為線性元件,這就
是通常使用的一種線性化方法。此外,還有一種
線性化方法,稱為切線法或小偏差法,這種線性
化方法特別適合于具有連續(xù)變化的非線性特性
函數(shù),其實質(zhì)是在一個很小的范圍內(nèi),將非線性特性用一段直線來代替。
這種小偏差線性化方法對于控制系統(tǒng)大多數(shù)工作狀態(tài)是可行的。事實上,自動控制系
統(tǒng)在正常情況下都處于一個穩(wěn)定的工作狀態(tài),即平衡狀態(tài),這時被控量與期望值保持一
致,控制系統(tǒng)也不進行控制動作。一旦被控量偏離期望值產(chǎn)生偏差時,控制系統(tǒng)便開始控
制動作,以便減小或消除這個偏差,因此,控制系統(tǒng)中被控量的偏差一般不會很大,只是
“小偏差”。在建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型時,通常是將系統(tǒng)的穩(wěn)定工作狀態(tài)作為起始狀態(tài),
僅僅研究小偏差的運動情況,也就是只研究相對于平衡狀態(tài)下,系統(tǒng)輸入量和輸出量的運
動特性,這正是增量線性化方程所描述的系統(tǒng)特性。